调和分析是目前国际上数学界非常活跃的研究领域之一。奇异积分算子的有界性一直是调和分析的核心研究内容之一。A.P.Calderón（沃尔夫奖得主）在[PNAS. 1965]中引入了一类粗糙核奇异积分算子：Calderón交换子。该算子是一类典型的非卷积奇异积分算子，是研究T1定理的重要模型，并在复分析、偏微分方程等领域有广泛的应用。A.P.Calderón在[PNAS. 1965]中研究了粗糙核Calderón交换子的Lp有界性。B.Bajsanski和R.Coifman在1967年研究了极大粗糙核Calderón交换子的Lp有界性。一个很自然的公开问题：粗糙核Calderón交换子以及它的极大算子是否弱(1,1)有界？
由于粗糙核Calderón交换子的核是没有光滑性的，标准的Calderón-Zygmund技术不再适用，因而即便是线性Calderón交换子的研究也极为困难。A.Seeger（美国数学会会士，ICM报告人）在[J. Amer. Math. Soc. 1996]中对卷积型粗糙核奇异积分算子的弱(1,1)有界性取得突破。2019年，我院教师赖旭东与合作者丁勇利用微局部分解、TT*技术建立了一类广泛的粗糙核奇异积分算子的弱(1,1)有界性的判断准则，证明了粗糙核Calderón交换子的弱(1,1)有界性，从而对Calderón遗留下来的公开问题给出一个肯定回答。该结果发表于[Trans. Amer. Math. Soc. 2019]。随后赖旭东进一步研究高阶Calderón交换子，突破了Grafakos（Math. Ann. 编委、Simons奖获得者）等人在[Trans. Amer. Math. Soc. 2010]中高阶Calderón交换子多线性估计的一维要求，建立了任意维数高阶Calderón交换子特有的Lorentz空间端点估计[Int. Math. Res. Not. 2020]。
与线性Calderón交换子的研究相比，极大Calderón交换子的弱（1,1）有界性研究有更为本质的困难，目前该问题仍是一个公开问题。最近，赖旭东与合作者Guoen Hu，Xiangxing Tao，Qingying Xue在这一问题上取得新进展，其论文“An endpoint estimate for the maximal Calderón commutator with rough kernel”在《Mathematische Annalen》上正式发表。在论文中，赖旭东及合作者通过采用Littlewood-Paley分解、微局部分解等技术，建立了一个新形式的Cotlar不等式，从而在LlogLlogL空间上建立了极大粗糙核Calderón交换子的弱（1,1）有界性。该结果首次给出了极大粗糙核Calderón交换子的在非平凡空间（LlogLlogL空间）的弱（1,1）有界性，为下一步研究最终猜想L1空间上的弱（1,1）有界性奠定了基础。
《Mathematische Annalen》（《德国数学年刊》）创刊于1868年，该期刊致力于发表现代数学领域中的重要进展和成果，同时要求这些成果具有极高的数学标准，是数学领域中国际公认的老牌的顶级期刊。
论文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-025-03152-3
