非交换分析是泛函分析领域近二十年来兴起的一个全新研究方向，其中有着大量极具挑战性的问题。由于不存在停时与点态极大函数，极大不等式是非交换分析中最难研究的课题之一。非交换鞅及遍历极大不等式[Junge, J. Reine Angew. Math. 2002; Junge-Xu, J.AMS 2007]是这个研究方向的奠基性工作；Hardy-Littlewood平均算子、群作用的遍历平均与非交换Fourier级数的非交换极大不等式曾是这个方向内流传的公开问题[Mei， Memoirs AMS 2007; Hong-Liao-Wang, Duke Math. J. 2021; Hong-Wang-Wang, Memoirs AMS in press]。以上极大不等式均是联系正算子族的。
由于非交换性，正性在极大不等式的研究中极其重要。因此，对于必然非正的截断Calderón-Zygmund奇异积分算子族，其非交换极大不等式的研究有着本质困难。最近，我院教师洪桂祥、赖旭东及合作者徐邦在这一问题上取得重要进展，其论文“Maximal singular integral operators acting on noncommutative Lp-spaces”在《Mathematische Annalen》上正式在线发表。在论文中，洪桂祥、赖旭东及合作者通过采用新的非交换Calderón-Zygmund分解技术，避开了拟局部化技巧，从而建立了核满足L2-Dini条件下截断奇异积分算子族的极大弱（1,1）有界性。 同时，这一将核的Lipschitz光滑性假设减弱为L2-Dini条件的结果，回到奇异积分算子本身，本质性地改进了Parcet [J. Funct. Anal. 2009]关于核满足Lipschitz条件的结果，部分回答了其提出的关于核满足Hörmander条件下的弱（1,1）有界的公开问题；这一问题被其团队同时解决[Cadilhac-Conde-Parcet, J. Math. Pures Appl. 2022]。
《Mathematische Annalen》（《德国数学年刊》）创刊于1868年，该期刊致力于发表现代数学领域中的重要进展和成果，同时要求这些成果具有极高的数学标准，是数学领域中国际公认的老牌的顶级期刊。
论文链接：https://doi.org/10.1007/s00208-022-02401-z
