整数分拆是组合数学中的核心研究对象之一。秩和c-秩是整数分拆中最重要的两个统计量，由沃尔夫奖获得者、美国科学院院士 F. Dyson 教授和美国数学学会前会长、美国科学院院士 G.E. Andrews 等人分别于 1944 年和 1988 年给出定义。自此以来秩和c-秩被广泛研究并得到了大量深刻结论。但是秩和c-秩的单峰性和单调性问题一直是一个公开问题。2014 年， S. Chan 和 R. Mao 首先给出了秩的单调性和准单峰性结论。在他们文章的最后，提出了能否给出c-秩一个类似的结论的公开问题。此外他们还提出能否给出 ospt-函数的一个更强的上界估计的公开问题。近日，我院教师臧经涛及其合作者回答了这两个公开问题，其论文“Unimodality of the Andrews-Garvan-Dyson cranks of partitions” 在著名数学杂志《Advances in Mathematics》上在线发表。文中首先引入了两个分拆函数pk(n) 和 ppk(n)，并确立了这两个函数的单调性。利用这两个函数的单调性质，给出了c-秩单调性的证明。关于c-秩的单峰性是一个更为复杂的问题，臧经涛及其合作者通过细致分析c-秩的生成函数，将c-秩的单峰性问题转化成7个求和式非负性的问题，从而给出了c-秩单峰性的完整回答。此外，利用c-秩的单峰性，本文还给出了ospt-函数的上界估计，从而回答了 Chan 和 Mao 的公开问题。
《Advances in Mathematics》（数学进展）创刊于1961年，该期刊致力于发表纯数学各领域具有突破性的重要成果，是业内公认的数学类顶级期刊，具有很高的学术声誉。
论文链接：https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.108053
